Derivace elementárních funkcí

Derivace hraje významnou roli při určování průběhu funkce. Na derivace můžeme nahlížet z matematického nebo fyzikálního hlediska. Z matematického hlediska derivace představuje směrnici tečny k dané křivce. Křivka je dána předpisem funkce \(y=f(x)\).

Spočítat derivaci funkce není nic nemožného. Na rozdíl od integrálů má derivace jasně stanovená pravidla a stačí si jen zapamatovat pár vzorečků a dodržovat pravidla výpočtu.

Základní vzorce pro derivování

Následující výčet obsahuje všechny běžně používané vzorce pro derivování.

$$
c'{} = 0 \\
[x^n]'{} = n\\
[a^x]'{} = a^x \\
[e^x]'{} = e^{x} \\
[lnx]'{} = \frac{1}{x} \\
[sin(x)]'{} = cosx \\
[cos(x)]'{} = -sin(x) \\
[tg(x)]'{} = \frac{1}{{cos}^{2}x} \\
[cotg(x)]'{} = -\frac{1}{sin^{2}x} \\
[arcsin(x)]'{} =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
[arccos(x)]'{} =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
[arctg(x)]'{} =\frac{1}{1+x^{2}} \\
[arccotg(x)]'{} =-\frac{1}{1+x^{2}} \\
$$

Derivace základních funkcí, které jsou výše uvedené, nejsou nijak obtížné. Stačí si jen zapamatovat dané vzorečky. Většinou se tedy spíše setkáte s derivací součtu, rozdílu, součinu nebo podílu funkcí. Nejčastěji se bude jednat o složenou funkci. Proto je nutné vědět, jaká jsou základní pravidla pro derivování:

Derivace součtu:
$$[f(x)+g(x)]'{} = f(x)'{}+g(x)'{}$$
Derivace rozdílu:
$$[f(x)-g(x)]'{} = f(x)'{}-g(x)'{}$$
Derivace součinu:
$$[f(x)\cdot g(x)]'{} = f(x)'{}\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x)'{}$$
Derivace podílu:
$$\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'{} = \frac{f(x)'{}\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)'{}}{(g(x))^{2}}$$
Derivace funkcí:
$$[f(x)^{g(x)}]'{} = f(x)^{g(x)}\cdot \left[g'(x)ln(f(x))+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\right]$$