Goniometrie – pomůcky

Mezi goniometrické funkce patří:
a) funkce sinus (\(sin\)),
b) funkce kosinus (\(cos\)),
c) funkce tangens (\( tg \:nebo \:tan\)),
d) funkce kotangens (\( cotg\:nebo \: cot\)).

Významné hodnoty goniometrických funkcí

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \text{x} & 0^{\circ}  &  30^{\circ} &  45^{\circ} &  60^{\circ} &  90^{\circ} &  180^{\circ} &  270^{\circ} &  360^{\circ} \\\hline
\text{x} &  0  & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\\hline
\sin {x} & 0 &\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt 2}{2} & \dfrac{\sqrt 3}{2} & 1 & 0 & -1 & 0\\\hline
\cos {x} & 1 &\dfrac{\sqrt 3}{2} & \dfrac{\sqrt 2}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 & -1 & 0 & 1\\\hline
tg \:{x} &  0 & \dfrac{\sqrt 3}{3} & 1 & \sqrt 3 & \text{nedef.} & -0 & \text{nedef.} & 0\\\hline
cotg \:x & \text{nedef.} & \sqrt 3 & 1 & \dfrac{\sqrt3}{3} & 0 & \text{nedef.} & 0 & \text{nedef.}\\\hline
\end{array}

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi

\begin{array}{|c|c|}
\hline sin^{2}x+cos^{2}x = 1 & sin^{2}x=1-cos^{2}x \:\:\:nebo\:\:\:  cos^{2}x=1-sin^{2}x  \\\hline
tg\: x = \dfrac{sin \:x}{cos \:x}&  sin\:x=cos\: x\cdot tg\:x \\\hline
cotg\: x = \dfrac{cos \:x}{sin \:x}&  cos\:x=sin\: x\cdot cotg\:x\\\hline
tg\: x \cdot cotg\:x=1& tg\: x= \dfrac{1}{cotg \:x}\:\:\:nebo\:\:\:  cotg\: x =\dfrac{1}{tg \:x}\\\hline
\end{array}

Vzorce pro dvojnásobný a poloviční argument

\begin{array}{|c|c|}
\hline Dvojnásobný\: argument\:\:\:&Poloviční \:argument\:\\\hline
sin2x = 2sin\:x\cdot cosx&\mid sin\dfrac{x}{2}\mid=\sqrt{\dfrac{1-cos\:x}{2}}\\\hline
cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x& \mid cos\dfrac{x}{2}\mid=\sqrt{\dfrac{1+cos\:x}{2}}\\\hline
tg2x = \dfrac{2tg\:x}{1-tg^{2}x}&\mid tg\dfrac{x}{2}\mid=\sqrt{\dfrac{1-cos\:x}{1+cos\:x}} \\\hline
\end{array}

Součtové vzorce

$$sin(x+y) = six\:x\cdot cos \:y + cos\:x\cdot sin\:y\\[2ex] sin(x-y) = six\:x\cdot cos \:y\: – cos\:x\cdot sin\:y\\[2ex] cos(x+y) = cos\:x\cdot cos \:y \: – sin\:x\cdot sin\:y\\[2ex] cos(x-y) = cos\:x\cdot cos \:y + sin\:x\cdot sin\:y\\[2ex] tg (x+y) = \dfrac{tg\:x+tg\:y}{1-tg\:x\cdot tg\:y}\\[4ex] cotg (x+y) = \dfrac{cotg\:x\cdot cotg\:y-1}{cotg\:x + cotg\:y}$$

Součet a rozdíl goniometrických funkcí

$$sin\:x+sin\:y = 2sin\dfrac{x+y}{2}\cdot cos\dfrac{x-y}{2} \\[4ex] sin\:x-sin\:y =2cos\dfrac{x+y}{2}\cdot sin\dfrac{x-y}{2}\\[4ex] cos\:x+cos\:y=2cos\dfrac{x+y}{2}\cdot cos\dfrac{x-y}{2}\\[4ex] cos\:x-cos\:y=-2sin\dfrac{x+y}{2}\cdot sin\dfrac{x-y}{2}\\[4ex] tg\:x\pm tg\:y=\dfrac{sin(x\pm y)}{cos\:x \cdot cos\:y}\\[4ex] cotg\:x\pm cotg\:y=\pm \dfrac{sin(x\pm y)}{sin\:x \cdot sin\:y}\\$$