Tabulky

Tabulky

Derivace hraje významnou roli při určování průběhu funkce. Na derivace můžeme nahlížet z matematického nebo fyzikálního hlediska. Z matematického hlediska derivace představuje směrnici tečny k dané křivce. Křivka je dána předpisem funkce \(y=f(x)\).

Spočítat derivaci funkce není nic nemožného. Na rozdíl od integrálů má derivace jasně stanovená pravidla a stačí si jen zapamatovat pár vzorečků a dodržovat pravidla výpočtu.

Vysvětlené a řešené příklady najdete v našich kurzech.

Základní vzorce pro derivování

Následující výčet obsahuje všechny běžně používané vzorce pro derivování.

$$
c'{} = 0 \\
[x^n]'{} = n\\
[a^x]'{} = a^x \\
[e^x]'{} = e^{x} \\
[lnx]'{} = \frac{1}{x} \\
[sin(x)]'{} = cosx \\
[cos(x)]'{} = -sin(x) \\
[tg(x)]'{} = \frac{1}{{cos}^{2}x} \\
[cotg(x)]'{} = -\frac{1}{sin^{2}x} \\
[arcsin(x)]'{} =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
[arccos(x)]'{} =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
[arctg(x)]'{} =\frac{1}{1+x^{2}} \\
[arccotg(x)]'{} =-\frac{1}{1+x^{2}} \\
$$

Derivace základních funkcí, které jsou výše uvedené, nejsou nijak obtížné. Stačí si jen zapamatovat dané vzorečky. Většinou se tedy spíše setkáte s derivací součtu, rozdílu, součinu nebo podílu funkcí. Nejčastěji se bude jednat o složenou funkci. Proto je nutné vědět, jaká jsou základní pravidla pro derivování:

Derivace součtu:
$$[f(x)+g(x)]'{} = f(x)'{}+g(x)'{}$$
Derivace rozdílu:
$$[f(x)-g(x)]'{} = f(x)'{}-g(x)'{}$$
Derivace součinu:
$$[f(x)\cdot g(x)]'{} = f(x)'{}\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x)'{}$$

Derivace podílu:
$$\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'{} = \frac{f(x)'{}\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)'{}}{(g(x))^{2}}$$
Derivace funkcí:
$$[f(x)^{g(x)}]'{} = f(x)^{g(x)}\cdot \left[g'(x)ln(f(x))+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\right]$$

Mezi goniometrické funkce patří:

a) funkce sinus (\(sin\)),
b) funkce kosinus (\(cos\)),
c) funkce tangens (\( tg \:nebo \:tan\)),
d) funkce kotangens (\( cotg\:nebo \: cot\)).

Významné hodnoty goniometrických funkcí

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \text{x} & 0^{\circ}  &  30^{\circ} &  45^{\circ} &  60^{\circ} &  90^{\circ} &  180^{\circ} &  270^{\circ} &  360^{\circ} \\\hline
\text{x} &  0  & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\\hline
\sin {x} & 0 &\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt 2}{2} & \dfrac{\sqrt 3}{2} & 1 & 0 & -1 & 0\\\hline
\cos {x} & 1 &\dfrac{\sqrt 3}{2} & \dfrac{\sqrt 2}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 & -1 & 0 & 1\\\hline
tg \:{x} &  0 & \dfrac{\sqrt 3}{3} & 1 & \sqrt 3 & \text{nedef.} & -0 & \text{nedef.} & 0\\\hline
cotg \:x & \text{nedef.} & \sqrt 3 & 1 & \dfrac{\sqrt3}{3} & 0 & \text{nedef.} & 0 & \text{nedef.}\\\hline
\end{array}

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi

\begin{array}{|c|c|}
\hline sin^{2}x+cos^{2}x = 1 & sin^{2}x=1-cos^{2}x \:\:\:nebo\:\:\:  cos^{2}x=1-sin^{2}x  \\\hline
tg\: x = \dfrac{sin \:x}{cos \:x}&  sin\:x=cos\: x\cdot tg\:x \\\hline
cotg\: x = \dfrac{cos \:x}{sin \:x}&  cos\:x=sin\: x\cdot cotg\:x\\\hline
tg\: x \cdot cotg\:x=1& tg\: x= \dfrac{1}{cotg \:x}\:\:\:nebo\:\:\:  cotg\: x =\dfrac{1}{tg \:x}\\\hline
\end{array}

Vzorce pro dvojnásobný a poloviční argument

\begin{array}{|c|c|}
\hline Dvojnásobný\: argument\:\:\:&Poloviční \:argument\:\\\hline
sin2x = 2sin\:x\cdot cosx&\mid sin\dfrac{x}{2}\mid=\sqrt{\dfrac{1-cos\:x}{2}}\\\hline
cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x& \mid cos\dfrac{x}{2}\mid=\sqrt{\dfrac{1+cos\:x}{2}}\\\hline
tg2x = \dfrac{2tg\:x}{1-tg^{2}x}&\mid tg\dfrac{x}{2}\mid=\sqrt{\dfrac{1-cos\:x}{1+cos\:x}} \\\hline
\end{array}

Součtové vzorce

$$sin(x+y) = six\:x\cdot cos \:y + cos\:x\cdot sin\:y\\[2ex]sin(x-y) = six\:x\cdot cos \:y\: – cos\:x\cdot sin\:y\\[2ex]cos(x+y) = cos\:x\cdot cos \:y \: – sin\:x\cdot sin\:y\\[2ex]cos(x-y) = cos\:x\cdot cos \:y + sin\:x\cdot sin\:y\\[2ex]tg (x+y) = \dfrac{tg\:x+tg\:y}{1-tg\:x\cdot tg\:y}\\[4ex]cotg (x+y) = \dfrac{cotg\:x\cdot cotg\:y-1}{cotg\:x + cotg\:y}$$

Součet a rozdíl goniometrických funkcí

$$sin\:x+sin\:y = 2sin\dfrac{x+y}{2}\cdot cos\dfrac{x-y}{2} \\[4ex]sin\:x-sin\:y =2cos\dfrac{x+y}{2}\cdot sin\dfrac{x-y}{2}\\[4ex]cos\:x+cos\:y=2cos\dfrac{x+y}{2}\cdot cos\dfrac{x-y}{2}\\[4ex]cos\:x-cos\:y=-2sin\dfrac{x+y}{2}\cdot sin\dfrac{x-y}{2}\\[4ex]tg\:x\pm tg\:y=\dfrac{sin(x\pm y)}{cos\:x \cdot cos\:y}\\[4ex]cotg\:x\pm cotg\:y=\pm \dfrac{sin(x\pm y)}{sin\:x \cdot sin\:y}\\$$

Obvody a obsahy obrazců

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline \text{Útvar}&\text{Obvod}&\text{Obsah} \\\hline
\text{čtverec}&\color{blue}{o}=a+a+a+a=\color{blue}{4\cdot a}&\color{blue}{S}=a\cdot v = a\cdot a=\color{blue}{a^{2}} \\\hline
\text{kosočtverec}&\color{blue}{o}=a+a+a+a=\color{blue}{4\cdot a}&S=a\cdot v_{a}=\dfrac{u_{1}u_{2}}{2}\\\hline
\text{obdélník}&\color{blue}{o}=a+b+a+b=2a+2b=\color{blue}{2(a+b)}&\color{blue}{S}=a\cdot v = \color{blue}{a\cdot b}\\\hline
\text{kosodélník}&\color{blue}{o}=a+b+a+b=2a+2b=\color{blue}{2(a+b)}&S=a\cdot v_{a} \\\hline
\text{trojúhelník}&o=a+b+c&S=\dfrac{a\cdot v_{a}}{2} =\dfrac{b\cdot v_{b}}{2}=\dfrac{c\cdot v_{c}}{2}\\\hline
\text{lichoběžník}&o=a+b+c+d&S=\dfrac{(a+c)\cdot v}{2}\\\hline
\text{kružnice/kruh}&o=2\pi r=\pi d&S=\pi r^{2}=\pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^{2}\\\hline
\end{array}

Pythagorova věta

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$

Povrch a objem těles

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline \text{Útvar}&\text{Povrch}&\text{Objem} \\\hline
\text{hranol}&S=2S_{p}+S_{pl}&V=S_{p}\cdot v\\\hline
\text{válec}&S=2\color{red}{S_{p}}+\color{blue}{S_{pl}}=2\color{red}{\pi r^{2}}+\color{blue}{2\pi rv}=2\pi r(r+v)&V=S_{p}\cdot v= \pi r^{2}v\\\hline\end{array}
\(S_{p}\) obsah podstavy
\(S_{pl}\) obsah pláště

 

Obsah pláště

Také můžeme jednoduše spočítat jako součin obvodu podstavy a výšky celého hranolu.
$$S_{pl}=o_{p}\cdot v$$

Přehled základních integračních vzorců

\(
\begin{array}{ll}
1. \displaystyle\int 0dx &=C \\[2ex]2. \displaystyle\int (a)dx &=a\cdot x + C \\[2ex]3. \displaystyle\int x^ndx &=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C; x>0, n\neq -1 \\[2ex]4. \displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx &= ln(x) + C; x\neq 0 \\[2ex]5. \displaystyle\int e^x dx &= e^x + C \\[2ex]6. \displaystyle\int a^x dx &= \dfrac{a^x}{ln(a)} + C; a>0, a\neq 1 \\[2ex]7. \displaystyle\int sin(x) dx &= -cos(x) + C \\[2ex]8. \displaystyle\int cos(x) dx &= sin(x) + C\\[2ex]9. \displaystyle\int \dfrac{1}{sin^2{x}}dx &= -cotg(x) + C \\[2ex]10. \displaystyle\int \dfrac{1}{cos^2{x}}dx &= tg(x) + C \\[2ex]11. \displaystyle\int \dfrac{1}{1+x^2}dx &= arctg(x) + C\\[2ex]12. \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx &= arcsin(x) + C; x\in \left(-1;1 \right) \\[2ex]13. \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a}}dx &= ln(x+\sqrt{x^2+a}) + C; a>0 \\[2ex]14. \displaystyle\int \dfrac{1}{x^2+a^2}dx &= \dfrac{1}{a}arctg\dfrac{x}{a} +C; a\neq 0 \\[2ex]15. \displaystyle\int \dfrac{f´(x)}{f(x)}dx &= ln|f(x)|
\end{array}
\)